(本文从一个视频笔记中整理，也不记得原始的出处了。)

凯利（John R. Kelly）是香农（就是信息论那个香农）的学生，1956 年提出了这个凯利公式，而香农帮老婆选股投资很厉害，赚了不少钱，其“半仓持股法则”就是凯利公式的特例。

公式推导

假设（就如赛马吧），赢一轮收获的比例为 $b$，输一轮损失的比例为 $a$， 赢的概率为 $p$， 输的概率为 $q$（即 $1-p$），初始资金为 $M_0$, 投资额和本金比例为 $f$，我们就是要找到最佳的 $f$，这是我们唯一可以控制的变量。

• 赢一局： $M_1 = M_0 \times (1 + fb)$
• 输一局：$M_1 = M_0 \times (1 - fa)$
• $n$ 轮后：$M_n = M_0 \times (1+ fb)^{np}(1-fa)^{nq}$
• 收益率：$\frac{M_n}{M_0} = (1+ fb)^{np}(1-fa)^{nq}$
• 每一轮的平均收益率： $R = \sqrt[n]{\frac{M_n}{M_0}} = (1+ fb)^{p}(1-fa)^{q}$（我们就是要追求这个 $R$ 的最大化）

继续，两边取对数： $\ln{R} = p\ln{(1+ fb)} + q\ln{(1-fa)}$，对$f$求导，为$0$时即为最优：$\frac{\ln{R}}{df} = \frac{bp}{1+fb} - \frac{aq}{1-fa} = 0$，求解就得到了凯利公式：

$$f = \frac{bp-aq}{ab(p+q)} = \frac{bq-aq}{ab} = \frac{p}{a} - \frac{q}{b}$$

而凯利公式更一般的形式为：$f = p - \frac{q}{B}$, 其中 $B=\frac{b}{a}$，即赔率，这是上面公式 $a=1$ 时的特例，即要么输掉所有注金，要么赢得注金乘以特定赔率。

可以看到凯利公式主要是用在赌博（其实是赌马）中的。

投资应用和启示

香农提出的半仓持股法则（仓内资金 = 仓外资金，一半资金用以投资）就是上面公式在 $a=0.5, b = 1, p =0.5$ 时的特例。从现代量化观点看，凯利公司计算的持仓是偏高的。

我不会直接用这个公式去投资，但是它背后的启示更具有指导意义，即赌徒输光理论：在数学上我们可以看预期，即使是负值，长期也可以回到期望；但是现实生活是不连续的（因为有交易费用、要按“手”买等，更不要说加标杆了），所以存在一个大于 0 的出局线。也就是说数学上即使是负的也有“翻盘”机会，而实际是中低于出局点，就没有机会留在牌桌上了。

核心的启示是止损点，如果不设止损点，长期一定会出局。